Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét tứ giác ACEH có

\(\widehat{ACE}+\widehat{AHE}=180^0\)

Do đó: ACEH là tứ giác nội tiếp

a: góc AEB=1/2*180=90 độ

góc FIB+góc FEB=180 độ

=>FIBE nội tiếp

b: góc ACB=1/2*180=90 độ

=>AC vuông góc DB

Xét ΔCAF và ΔCEA có

góc CAF=góc CEA

góc ACF chung

=>ΔCAF đồng dạng với ΔCEA

=>CA^2=AF*AE
Xét ΔDAB vuông tại D có AC vuông góc DB

nên CA^2=CD*CB=AF*AE

a. Em tự giải

b.

Do tứ giác BDHM nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HDM}=\widehat{HBM}\) (cùng chắn cung HM)

Do tứ giác ABDE nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HBM}=\widehat{ADE}\) (cùng chắn cung AE)

\(\Rightarrow\widehat{HDM}=\widehat{ADE}\)

\(\Rightarrow DH\) là phân giác trong góc \(\widehat{EDK}\) của tam giác EDK

Lại có \(DH\perp DB\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow DB\) là phân giác ngoài góc \(\widehat{EDK}\) của tam giác EDK

Áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{EH}{HK}=\dfrac{EB}{BK}=\dfrac{ED}{DK}\) \(\Rightarrow BK.HE=BE.HK\)

c.

Hai điểm D và E cùng nhìn CH dưới 1 góc vuông nên tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH

\(\Rightarrow I\) là trung điểm CH

Trong tam giác ABC, do hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H \(\Rightarrow H\) là trực tâm

\(\Rightarrow CH\perp AB\) hay C;H;M thẳng hàng

Ta có \(IC=IE\) (do I là tâm đường tròn ngoại tiếp CDE) \(\Rightarrow\Delta CIE\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{ECI}=\widehat{CEI}\)

Lại có \(OB=OE=R\Rightarrow\Delta OBE\) cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OBE}=\widehat{OEB}\)

Mà \(\widehat{OBE}=\widehat{ECI}\) (cùng phụ \(\widehat{BAC}\))

\(\Rightarrow\widehat{CEI}=\widehat{OEB}\)

\(\Rightarrow\widehat{CEI}+\widehat{IEB}=\widehat{OEB}+\widehat{IEB}\)

\(\Rightarrow\widehat{CEB}=\widehat{OEI}\)

\(\Rightarrow\widehat{OEI}=90^{ }\)

Hay \(OE\perp IE\Rightarrow IE\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

AC=AD

OC=OD

=>AO là trung trực của CD

=>OA vuông góc CD tại I

góc AMB=1/2*180=90 độ

góc KMB+góc KIB=180 độ

=>KMBI nội tiếp

bạn học đến đg tròn rồi à

Bài 2

a) Ta có \(\widehat{AEB}=\widehat{AHB}=90^o\). Tứ giác ABHE nội tiếp

=> \(\widehat{EHC}=\widehat{ABA'}=\widehat{BCA'}\)

=> HE//CA'

Vì CA' _|_ AC => HE _|_ AC

c) Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm BC

Đường tròn ngoại tiếp ABHE có tâm là M nên M nằm trên đường trung trực của HE

Do HE _|_ AC nên trung trực của HE song song với AC và chứa đường trung bình của tam giác ABC

Do đó trung điểm N của BC nằm trên trung trự của HE

Mặt khác E,F là chân đường vuông góc của B và C hạ xuông AA' nên trung trực của EF đi qua trung điểm N của BC

Vậy N là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là 1 điểm cố định cho BC cố định

Bài 1

bổ sung câu c bài hỏi .là : CM \(\frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}\)

bài làm

a) ta có . tam giác ACO zuông tại C , Tam giác ABO zuông tại B

nên C , B lần lượt nhìn AO zới 1 góc =90 độ

=> ABCO nội tiếp 

b) ta có tam giác ABC cân tại A do AB=AC

mà AH là đường cao

nên AH cx là đường trung tuyến

=> CH = HB

=> AO là đường trung trực của CB

c) ta có BD là đường kính của O 

nên góc BED = 90 độ

xét 2 tam giác zuông BED zà ABD có

góc BAD = góc BDA ( cùng nhìn \(\widebat{BE}\)

BD chung

=> tam giác BED = tam giác DBA 

=> \(\frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}\)

câu d )

ta có góc BHO = góc ABO = 90 dộ

=> tam giác BHO ~ tam giác ABO (g.g)

=> \(\frac{HO}{HB}=\frac{BO}{BA}\)

chú ý : BD=2BO ; DC=2HO zà kết quả câu c , ta có

\(\frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}=\frac{2BO}{BA}=\frac{DC}{HB}\)

gọi F là giao điểm của DE  zà BC ta có

góc CDE = 90 độ - góc CFD = 90 độ - góc EFB = góc HBE

zạy tam giác CDE ~ tam giác HBE ( g.c.g) 

=> góc CED = góc HEB từ đó

=> góc HEC= góc HED + góc CED = góc HED+ góc HEB =90 độ